Question

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p∀q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer

利用复合命题真假的判断方法求解实数a的取值范围是解决本题的关键．首先要确定出命题p，q为真的字母a的取值范围，利用恒成立问题的分离变量方法得出命题p为真的a的范围；利用复合函数单调性的方法得出命题q为真的a的范围，注意对数函数定义域的意识．
【解析】
∵x∈[1，2]时，不等式x2+ax-2＞0恒成立
∴在x∈[1，2]上恒成立，
令，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）max=g（1）=1，∴a＞1．即若命题p真，则a＞1；
又∵函数是区间[1，+∞）上的减函数，
∴
∴∴-1＜a≤1．即若命题q真，则-1＜a≤1．
若命题“p∀q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题，
若p真q假，则有a＞1，若p假q真，则有-1＜a≤1，若p，q均为真命题，不存在a；
综上可得实数a的取值范围是a＞-1．