Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）；
（3）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

Answer

（1）由Sn=2an-2，利用，能求出数列{an}的通项公式，由点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，能求出数列{bn}的通项公式．
（2）由，利用裂项求和法能求出++…+．
（3）由Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）•2n．利用错位相减法能求出Tn．
【解析】
（1）∵Sn=2an-2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2），即an=2an-2an-1，
∵an≠0，∴，
∴即数列{an}是等比数列．…（2分）
∵a1=S1，∴a1=2a1-2，即a1=2，
∴．…（3分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn-bn+1+2=0，∴bn+1-bn=2．
即数列{bn}是等差数列，又b1，∴bn=2n-1．…（6分）
（2）∵，
∴++…+
=++…+
=（1-++…+）
=
=．…（9分）
（3）Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn
=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）•2n．①
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1，②
①-②，得-Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）-（2n-1）•2n+1，…（11分）
∴-Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）•2n+1，
∴Tn=（2n-3）•2n+1+6．…（13分）