Question

已知函数f（x）=log_a（3+2x），g（x）=log_a（3-2x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）-g（x）定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer

（1）使f（x）-g（x）的解析式有意义，须使f（x）=loga（3+2x），g（x）=loga（3-2x）的解析式都有意义，结合对数函数的真数必须大于0，构造不等式组，可得函数的定义域．
（2）根据（1）可知函数的定义域关于原点对称，根据已知求出f（-x）-g（-x），并判断其与f（x）-g（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得结论；
（3）分a＞1和0＜a＜1两种情况，结合对数函数的单调性可将对数不等式转化整式不等式，进而根据（1）中函数的定义域，可得两种情况下x的取值范围．
【解析】
（1）若使f（x）-g（x）的解析式有意义
须使f（x）=loga（3+2x），g（x）=loga（3-2x）的解析式都有意义
即   
 解得：-＜x＜
所以函数f（x）-g（x）的定义域是（-，）
（2）函数f（x）-g（x）是奇函数，理由如下：
由（1）知函数f（x）-g（x）的定义域关于原点对称
又∵f（-x）-g（-x）=loga（3-2x）-loga（3+2x）
=-[loga（3+2x）-loga（3-2x）]=-[f（x）-g（x）]
∴函数f（x）-g（x）是奇函数
若f（x）-g（x）＞0，即loga（3+2x）＞loga（3-2x）
当a＞1，则3+2x＞3-2x，解得x＞0，由（1）可得此时x的取值范围（0，）
当0＜a＜1，则3+2x＜3-2x，解得x＜0，由（1）可得此时x的取值范围（-，0）