Question

设函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），
（Ⅰ）若f（1）=0且对任意实数均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表达式；
（Ⅱ）在（1）在条件下，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，证明F（m）＞-F（n）．

Answer

（Ⅰ）由f（1）=0，可得b=a+1，由f（x）≥0恒成立，即ax2-bx+1≥0恒成立，结合二次函数的性质可得△≤0，可求a，b，进而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x），g（x），=结合二次函数的单调区间与对称轴的位置关系可求k的范围
（Ⅲ）由f（x）是偶函数，可求b，代入F（x），结合f（x）在[0，+∞）上的单调性可判断F（x）是奇函数，且F（x）在[0，+∞）上为增函数，结合m，n之间的大小关系即可证明
【解析】
（Ⅰ）∵f（1）=0，∴b=a+1，（1分）
由于f（x）≥0恒成立，即ax2-bx+1≥0恒成立，
当a=0时，b=1，此时，f（x）=-x+1与f（x）≥0恒成立矛盾．
当a≠0时，由△=（-b）2-4a=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0，得a=1，b=2…（3分）
从而f（x）=x2-2x+1，
∴（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x2-（2+k）x+1，其对称为
由g（x）在x∈[-3，3]上是单调函数知：或，
解得k≥4或k≤-8（8分）
证明：（Ⅲ）∵f（x）是偶函数，
∴由f（-x）=f（x）得b=0，
故f（x）=ax2+1，
∵a＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，（9分）
对于F（x），当x＞0时，-x＜0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）
当x＜0时，-x＞0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）
∴F（x）是奇函数，且F（x）在[0，+∞）上为增函数．（11分）
∵mn＜0，
∴m，n异号，
（1）当m＞0，n＜0时，由m+n＞0得m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n）=-F（n）
（2）当m＜0，n＞0时，由m+n＞0得n＞-m＞0，
∴F（n）＞F（-m）=-F（m）
即F（m）＞-F（n）
综上可知F（m）＞-F（n）（14分）