Question

已知函数：
（1）写出此函数的定义域和值域；      
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．

Answer

（1）f（x）=1+，根据y=≠0可求函数f（x）的值域；
（2）设0＜x1＜x2，通过作差比较f（x2）与f（x1）的大小，由函数单调性的定义可以证明；
（3）先表示出g（x），求出定义域看是否关于原点对称，再判断g（-x）与g（x）的关系，由奇偶函数的定义可以判断．
（1）【解析】
函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
，∴值域为{y|y≠1}．
（2）证明：设0＜x1＜x2，
则：，
∵0＜x1＜x2，∴x1•x2＞0，x1-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）【解析】
函数定义域关于原点对称，
设，
∵，
∴此函数为奇函数．