Question

设函数f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），
（1）如果f（1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0，求F（x）的解析式；
（2）在（1）在条件下，若g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）已知a＞0且f（x）为偶函数，如果m+n＞0，求证：F（m）+F（n）＞0．

Answer

（1）由f（1）=0，可得b=a+1，结合f（x）≥0恒成立，分a=0和a≠0两种情况讨论后可得a，b的值，进而求出函数f（x）的解析式，进而根据得到答案．
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数，函数区间[-3，3]在函数对称轴的同一侧，由此构造不等式可求出满足条件的实数k的取值范围；
（3）由f（x）为偶函数可得b=0，进而得到，根据a＞0，m+n＞0，进而根据二次函数的图象和性质得到F（m）+F（n）的取值范围．
解（1）∵f（1）=0，
∴b=a+1（1分）
∵对任意实数x均有f（x）≥0恒成立，
即对任意实数x均有ax2-bx+1≥0恒成立（2分）
当a=0时，b=1，这时，f（x）=-x+1，它不满足f（x）≥0恒成立（3分）
当a≠0时，则a＞0且△=（-b）2-4a=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0
∴a=1，b=2（4分）
从而f（x）=x2-2x+1，
∴（5分）
（2）由（1）知f（x）=x2-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x2-（2+k）x+1=（6分）
∵g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数
∴≤3或≥3，
即k≤-8或k≥4
∴k的取值范围是（-∞，-8]∪[4，+∞）（7分）
（3）∵f（x）是偶函数，
∴b=0（8分）
故f（x）=ax2+1，
∴    （9分）
∵a＞0，
∴当x＞0时f（x）＞0
∵m+n＞0，
∴m，n中至少有一个正数，即m，n都是正数或一个正数，一个负数
若m，n都是正数，则F（m）＞0，F（n）＞0，所以F（m）+F（n）＞0（10分）
若m，n一个正数，一个负数，不妨设m＞，n＜0，又m+n＞0
则F（m）+F（n）=am2+1-（an2+1）=a（m+n）（m-n）＞0（11分）
综上可得，F（m）+F（n）＞0．（12分）