Question

已知函数f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b_n}，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）配方，确定函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列{an}的通项，再证明为等差数列；
（Ⅱ）确定数列{bn}的通项，进而可分段求出{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：∵f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7=[x-（n+1）]2+3n-8，
∴an=3n-8，---------（2分）
∴an+1-an=3（n+1）-8-（3n-8）=3，
∴数列{an}为等差数列．---------（4分）
（Ⅱ）【解析】
由题意知，bn=|an|=|3n-8|，---------（6分）
∴当1≤n≤2时，bn=8-3n，；----（8分）
当n≥3时，bn=3n-8，Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+（3n-8）=．---------（10分）
∴．---------（12分）