Question

以下结论正确的有    （写出所有正确结论的序号）
①函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数；
②对于函数f（x）=-x²+1，当x₁≠x₂时，都有；
③已知幂函数的图象过点，则当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方；
④奇函数的图象必过坐标原点；
⑤函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，则f（x）在R上为增函数．

Answer

①函数在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性；
②f（x）=-x2+1，x1≠x2，利用作差法能够比较和f（）的大小；
③设幂函数f（x）=xa，由幂函数的图象过点，知f（x）=x，由此能求出结果；
④由奇函数的性质，知奇函数的图象不一定过坐标原点；
⑤根据抽象函数的性质，利用定义法能够判断f（x）R上的单调性．
【解析】
①函数在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，
但在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性，故①不正确；
②∵f（x）=-x2+1，x1≠x2，
∴-f（）
=-[-（）2+1]
=-＜0，
∴，故②正确；
③设幂函数f（x）=xa，
∵幂函数的图象过点，∴f（2）=，故f（x）=x，
∴当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方，故③正确；
④由奇函数的性质，知奇函数的图象不一定过坐标原点，故④不正确；
⑤∵函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，
∴令x1＜x2，则f（x1）-f（x2）
=f（x2+（x1-x2））-f（x2）
=f（x2）+f（x1-x2）-1-f（x2）=f（x1-x2）-1，
由于当x＜0时f（x）＜1，而x1-x2＜1，
所以f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在R上为增函数．故⑤正确．
故答案为：②③⑤