(1)由奇函数性质得f(0)=0,由此可求出a值,注意检验;
(2)利用函数单调性的定义即可判断证明;
(3)利用函数的奇偶性、单调性可把去掉不等式中的符号“f”,从而转化为具体不等式恒成立,从而可求k的范围.
【解析】
(1)由题设,需,
∴a=1,∴,
经验证,f(x)为奇函数,∴a=1.
(2)f(x)在定义域R上是减函数.
证明:任取 x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,
,
∵x1<x2,∴,,
∴f( x2)-f( x1)<0,即f( x2)<f( x1),
∴该函数在定义域R上是减函数.
(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,得f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)是奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
由(2)知,f(x)是减函数,∴原问题转化为t2-2t>k-2t2,
即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k<0,解得,
所以实数k的取值范围是:.