Question

已知函数，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，则f（x₁+x₂+…+x₅）=（ ）
A．log₅3
B．1+log₅3
C．1+log₅4
D．2

Answer

分情况讨论，当x=5时，f（x）=3，则由程f2（x）+bf（x）+c=0  得 x1 =5，c=-3b-9．当x＞5时，f（x）=log5（x-5），由关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0得有 x2=125
+5=130，x3=5-3-b+5．当x＜5时，f（x）=log5（5-x），由关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0得 x4=-120，x5=5-5-3-b．故有 x1+x2+…+x5 =25，再由
 f（x1+x2+…+x5）=f（25）运算求得结果．
【解析】
当x=5时，f（x）=3，由关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0 得 9+3b+c=0，故x1 =5，c=-3b-9．
当x＞5时，f（x）=log5（x-5），由关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0得 +blog5（x-5）-3b-9=0，
解得 log5（x-5）=3，或 log5（x-5）=-3-b． 故有 x2=125+5=130，x3=5-3-b+5．
当x＜5时，f（x）=log5（5-x），由关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0得 +blog5（5-x）-3b-9=0，
解得 log5（5-x）=3，或 log5（5-x）=-3-b．故有 x4=-120，x5=5-5-3-b．
∴x1+x2+…+x5 =25，
∴f（x1+x2+…+x5）=f（25）=log520=1+log54，
故选C．