Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）解不等式f（x+）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有＞0，利用定义法能够证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）f（x+）＜f（1-x）等价于，由此能求出不等式f（x+）＜f（1-x）的解集．
（3）由于f（x）为增函数，f（x）的最大值为f（1）=1，故f（x）≤t2-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，所以t2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，由此能求出实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有＞0．
∴任取x1，x2∈[-1，1]，且x2≥x1，
则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=•（x2-x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x+）＜f（1-x），
∴，解得0≤x＜，
∴不等式f（x+）＜f（1-x）的解集为[0，）．
（3）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
∴t2-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
把y=t2-2at看作a的函数，
由a∈[-1，1]，知其图象是一条线段，
∴t2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴，即，
解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
故实数t的取值范围是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．