Question

已知函数f（x）=是定义域为（-1，1）上的奇函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）若实数t满足f（2t-1）+f（t-1）＜0，求实数t的范围．

Answer

（1）由函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，再据可求出a的值．
（2）利用增函数的定义可以证明，但要注意四步曲“一设，二作差，三判断符号，四下结论”．
（3）利用函数f（x）是奇函数及f（x）在（-1，1）上是增函数，可求出实数t的范围．
【解析】
（1）函数f（x）=是定义域为（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）
又f（1）=，∴a=1；…（5分）
∴…（5分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，则x2-x1＞0，
于是f（x2）-f（x1）=-=，
又因为-1＜x1＜x2＜1，则1-x1x2＞0，，，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1）； …（6分）
又由已知函数f（x）是（-1，1）上的奇函数，∴f（-t）=-f（t）…（8分）
∴f（2t-1）＜f（1-t）…（3分）
由（2）可知：f（x）是（-1，1）上的增函数，…（10分）
∴2t-1＜1-t，t＜，又由-1＜2t-1＜1和-1＜1-t＜1得0＜t＜
综上得：0＜t＜…（13分）