Question

已知，且x∈（0，2π），记f（x）在（0，2π）内零点为x．
（1）求当f（x）取得极大值时，与的夹角θ．
（2）求f（x）＞0的解集．
（3）求当函数取得最小值时f（x）的值，并指出向量与的位置关系．

Answer

（1）由题设知f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），故f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，由此能求出当f（x）取得极大值时，与的夹角θ．
（2）由x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点，知f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．由此能求出f（x）＞0的解集．
（3）构造函数，则=，由此能求出当函数取得最小值时f（x）的值和此时向量与的位置关系．
（本题满分14分）
【解析】
（1）∵，且x∈（0，2π），
∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，
∴x∈（0，π），f'（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈（π，2π），f'（x）＜0，则f（x）单调递减．
∴x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．…（4分）
此时=（sinπ，π）=（0，π），=（1，-cosπ）=（1，1）
∴cosθ===，
∵0≤θ≤π，∴．…（6分）
（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．
且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．
∴x∈（0，π）时，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，
得x∈（π，2π），
∴x∈（0，x）时，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集为（0，x）．…（9分）
（3）令，
∵=，
∴h′（x）=0，得x=x，
∴x∈（0，x），f（x）＞0，得h′（x）＜0，则h（x）单调递减，
当x∈（x，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，则h（x）单调递增，
∴x=x是h（x）在（0，2π）内的极小值，且h（x）为唯一极值，即为最小值，
此时f（x）=f（x）=0，即，
∴．