Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有的棱长都为2，∠A₁AC=60°
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC；
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求平面A₁B₁C₁与平面ABC所成的锐角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取AC的中点O，连接A1O，BO，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，∠A1AC=60°，则A1O⊥AC，BO⊥AC，A1O∩BO=O，由此能够证明AC⊥A1B．
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，点A1到平面ABC的距离最大，此时A1O⊥平面ABC．设平面ABC与平面A1B1C的交线为l，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，AB∥平面A1B1C，所以AB∥l．由此能够求出平面A1B1C与平面ABC所成锐角的余弦值．
（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，
所有棱长都为2，∠A1AC=60°，
则A1O⊥AC，BO⊥AC，A1O∩BO=O，…（2分）
所以AC⊥平面A1BO而A1B⊂平面A1BO，
∴AC⊥A1B．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，
点A1到平面ABC的距离最大，
此时A1O⊥平面ABC．…（6分）
设平面ABC与平面A1B1C的交线为l，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，AB∥平面A1B1C，
∴AB∥l，…（8分）
过点O作OH⊥l交于点H，连接A1H．由OH⊥l，A1O⊥l知l⊥平面A1OH，
∴l⊥A1H，故∠A1HO为平面A1B1C与平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）
在Rt△OHC中，OC==1，∠OCH=∠BAC=60°，则，
在Rt△A1OH中，，，．…（12分）
即平面A1B1C与平面ABC所成锐角的余弦值为．