Question

已知函数F（x）=，（x），
（I）求F（）+F（）+…+F（）的值；
（II）已知数列{an}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求证数列{}是等差数列；
（III）已知b_n=，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）由题意可得F（x）+F（1-x）=3，所以设S=F（）+f（）+…+F（）倒序后相加即可得到结果．
（II）由a n+1=F（an）两边同减去1，得==2+，所以，{}是以2为公差以1为首项的等差数列．
（III）利用条件可得anbn=，它是一个等差数列与等比数列积的形式，利用错位相减可求数列的和．
【解析】
（I）因F（x）+F（1-x）==3．------------------------------（2分）
所以设S=F（）+f（）+…+F（）…（1）
S=F（）+f（）+…+F（）…（2）
（1）+（2）得：2S=2009×[F（）+F（）]=3×2009=6027，
∴S=．
（II）由a n+1=F（an）两边同减去1，得a n+1-1=-1=．---------（7分）
所以==2+
所以，{}是以2为公差以1为首项的等差数列．----（10分）
（III）因为，
∴an=1+=．
因为bn=，所以anbn=------------------------------（12分）
Sn=++…+（3）
Sn=++…+          （4）
由（3）-（4）得
Sn=++…+-
=2--
所以Sn=4------------------------------（14分）