Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数α的取值范围；
（3）若x₁＞x₂＞0，求证：．

Answer

（1）由g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，知，由此能求出函数g（x）=f（x+1）-x的最大值．
（2）由∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，知在x＞0上恒成立，由此能求出实数α的取值范围．（3）当x1＞x2＞0时，不等式等价于ln＞，由此利用构造法能够证明．
【解析】
（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x，
∴g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，
则．…（2分）
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．…（4分）
（2）∵∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，
∴在x＞0上恒成立．…（6分）
设h（x）=，则．
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在x=e时取最大值h（e）=．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a．．…（8分）
另一方面，当x＞0时，x+≥2，要ax≤x2+1恒成立，必须a≤2．
所以，满足条件的a的取值范围是[，2]．．…（10分）
（3）当x1＞x2＞0时，
不等式等价于ln＞．…（12分）
令t=，设u（t）=lnt-，t＞1，则＞0，
∴u（t）在[1，+∞）内是增函数，
∴u（t）≥u（1）=ln1-=0，
∴ln＞，
∴．…（15分）