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已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正实数),且函数f...

已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正实数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.
(1)求a的值;
(2)对于函数F(x)及其定义域D,若存在x∈D,使F(x)=x成立,则称x为F(x)的不动点.若f(x)+g(x)+b在其定义域内存在不动点,求实数b的取值范围;
(3)若n为正整数,证明:manfen5.com 满分网
(参考数据:lg3=0.3010,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(1)由已知中函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等,结合函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),我们可以构造关于a的方程,解方程可以求出a的值; (2)确定函数解析式,利用不动点的定义,可得实数b的取值范围; (3)由于n为正整数,因此当1≤n≤3时,G(n)单调递增;当n≥4时,G(n)单调递减,可得G(n)的最大值是max{G(3),G(4)},从而不等式得到证明. (1)【解析】 ∵函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等,∴f(0)=g(0),即|a|=1. 又a>0,∴a=1.                      …(2分) (2)【解析】 由(1)知,. 当x≥1时,若f(x)+g(x)+b存在不动点,则有x2+3x+b=x,即b=-x2-2x=-(x+1)2+1.                   …(3分) ∵x≥1,∴-(x+1)2+1≤-3,此时b≤-3.       …(4分) 当x<1时,若f(x)+g(x)+b存在不动点,则有x2+x+2+b=x,即b=-x2-2…(5分) ∵x<1,∴-x2-2≤-2,此时b≤-2.            …(6分) 故要使得f(x)+g(x)+b在其定义域内存在不动点,则实数b的取值范围应为(-∞,-2].  …(7分) (3)证明:设. 因为n为正整数, ∴.                    …(8分) ∴.     …(9分) 当时,,即,亦即,∴.                        …(11分) 由于n为正整数,因此当1≤n≤3时,G(n)单调递增;当n≥4时,G(n)单调递减. ∴G(n)的最大值是max{G(3),G(4)}.                      …(12分) 又,, …(13分) ∴G(n)≤G(4)<4.                            …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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