Question

设函数
（1）求证：不论a为何实数，f（x）是增函数
（2）确定a的值，使f（x）是奇函数
（3）当f（x）为奇函数时，求关于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集．

Answer

（1）利用函数的单调性定义即可证明；
（2）利用奇函数的定义即可证明；
（3）利用函数的奇偶性和单调性即可求出．
【解析】
（1）证明：∀x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）===，
∵x1＜x2，∴，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
因此不论a为何实数，f（x）是增函数；
（2）由f（0）=0，解得，
可以验证：当时，f（x）是奇函数；
（3）由（2）可知：．
∴，
∵不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0，
∴f（2t-1）＜-f（t-2）=f（2-t），
由（1）可知：函数f（x）在R上单调递增，
∴2t-1＜2-t，
解得t＜1．
∴关于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集是（-∞，1）．