Question

两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程．

Answer

（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y-2=k（x-6），l2：y+1=k（x+3），利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离d的表示式，两端平方，整理成关于斜率k的二次方程，利用其有解的条件即可求得d的变化范围；
（2）作出图形，数形结合即可求得答案．
【解析】
（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=-3，则它们之间的距离为9．…（2分）
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l1：y-2=k（x-6），l2：y+1=k（x+3），
即l1：kx-y-6k+2=0，l2：kx-y+3k-1=0，…（4分）
∴d==．
即（81-d2）k2-54k+9-d2=0．
∵k∈R，且d≠9，d＞0，
∴△=（-54）2-4（81-d2）（9-d2）≥0，即0＜d≤3且d≠9．…（9分）
综合①②可知，所求d的变化范围为（0，3]．

方法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|．
而|AB|==3．
故所求的d的变化范围为（0，3]．
（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而kAB==，
∴所求直线的斜率为-3．故所求的直线方程分别为
y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）