Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，连接AF．
（I）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（II）当二面角A-CD-B为直二面角时，求直线AB与平面CBD所成角的正切值．

Answer

（I）由题意知，△ACD是正三角形，折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，故CD⊥平面AEF，从而证明结论．
（II）AE⊥平面CBD，∠ABE就是直线AB与平面CBD所成的角，解直角三角形ABE，可求∠ABE的大小．
（I）证明：在Rt△ABC中，D为AB的中点，
得AD=CD=DB，又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中点，得AE⊥CD．（3分）
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE⊂平面AED，EF⊂平面AEF，
故CD⊥平面AEF，（6分）
又CD⊂平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．（7分）

（II）【解析】
∵二面角A-CD-B是直二面角，
且AE⊥CD，∴AE⊥平面CBD．（8分）
连接EB，AB，则∠ABE就是直线AB与
平面CBD所成的角．（9分）
设AC=a，在△CDB中，
，
∴，．
∴直线AB与平面CBD所成角的正切值为．（14分）