Question

已知实数x，y满足x²+y²-4x+2y+1=0．
（Ⅰ）求x²+y²的最大值和最小值．
（Ⅱ）求4x+3y的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）由x2+y2-4x+2y+1=0，知，θ为参数，故x2+y2=（2+2cosθ）2+（-1+2sinθ）2=9+4sin（θ+α），tanα=-2．由此能求出x2+y2的最大值和最小值．
（Ⅱ）由，θ为参数，知4x+3y=4（2+2cosθ）+3（-1+2sinθ）=5+10sin（θ+β），tanβ=．由此能求出4x+3y的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵x2+y2-4x+2y+1=0的圆心为（2，-1），半径r==2，
∴，θ为参数，
∴x2+y2=（2+2cosθ）2+（-1+2sinθ）2
=4+8cosθ+4cos2θ+1-4sinθ+4sin2θ
=9-4sinθ+8cosθ
=9+4sin（θ+α），tanα=-2．
∴x2+y2的最大值是9+4，最小值是9-4．
（Ⅱ）∵，θ为参数，
∴4x+3y=4（2+2cosθ）+3（-1+2sinθ）
=8+8cosθ-3+6sinθ
=5+10sin（θ+β），tanβ=．
∴4x+3y的最大值是15，最小值是-5．