Question

椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且=m（m∈R）
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）当m=-3时，求△PAB的重心坐标．
（Ⅲ）证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程，利用椭圆的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，建立方程求得几何量，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设A、B的坐标，由=m得坐标之间的关系，即可求得△PAB的重心坐标；
（Ⅲ）利用点差法，结合（Ⅱ）的结论，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，
∴e2=1-=及+=1
∴a2=4，b2=3，
∴椭圆方程为=1；
（Ⅱ）【解析】
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由=m
得（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即
∵点P（1，），），m=-3，于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0），即原点是△PAB的重心；
（Ⅲ）证明：∵=1，=1
∴两式相减得kAB==-×==-，即直线AB的斜率为定值，定值为-．