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已知圆C以为圆心且经过原点O. (Ⅰ)若直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,...

已知圆C以manfen5.com 满分网为圆心且经过原点O.
(Ⅰ)若直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,已知点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
(I)利用圆的标准方程写出圆的方程,根据线段的中垂线的性质判断出C,H,O三点共线,利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率,列出关于t的方程,求出t的值.通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较,判断出直线与圆的关系是否相交. (II)求出点B关于直线x+y+2=0的对称点,将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题,根据圆的几何条件,圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径. 【解析】 由题知,圆C方程为, 化简得 (Ⅰ)∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上, 设MN的中点为H,则CH⊥MN. ∴C,H,O三点共线, 则直线OC的斜率或t=-2, 知圆心C(2,1)或C(-2,-1), 所以圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时, 直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,不满足直线和圆相交,故舍去. ∴圆C方程为(x-2)2+(y-1)2=5.    (Ⅱ) 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2), 则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|, 又B′到圆上点Q的最短距离为, 所以|PB|+|PQ|的最小值为, 直线B′C的方程为, 则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.
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考点分析:
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