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如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物...

如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q,
(1)若manfen5.com 满分网,求c的值;
(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.

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(1)设过C点的直线的方程,与抛物线方程联立设出A,B的坐标则可分别表示出来,根据求得-c-k2c+kc•k+c2=2,求得c. (2)设过Q的切线方程,通过对抛物线方程求导求得切线的斜率,进而可表示出切线方程求得与y=-c的交点为M的坐标进而根据P为线段AB的中点,求求得Q点的坐标,根据x1x2=-c,进而可表示出M的坐标,判断出以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线. (3)根据(2)可知点Q的坐标,根据PQ⊥x轴,推断出点P的坐标,进而求得,判断出P为AB的中点. 【解析】 (1)设过C点的直线为y=kx+c,所以x2=kx+c(c>0),即x2-kx-c=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), =(x1,y1),, 因为,所以x1x2+y1y2=2,即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2,x1x2+k2x1x2-kc(x1+x2)+c2=2 所以-c-k2c+kc•k+c2=2,即c2-c-2=0, 所以c=2(舍去c=-1) (2)设过Q的切线为y-y1=k1(x-x1),y/=2x,所以k1=2x1,即y=2x1x-2x12+y1=2x1x-x12, 它与y=-c的交点为M, 又, 所以Q, 因为x1x2=-c,所以, 所以M, 所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线. (3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q, 因为PQ⊥x轴,所以 因为,所以P为AB的中点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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