Question

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer

设F（x）=f （x）g（x），由条件可得F（x）在（-∞，0）上为增函数，得F（x）在（0，+∞）上也为增函数．
由g（-2）=0，必有F（-2）=F（2）=0，构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集．
【解析】
设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，
∴F（x）在（-∞，0）上为增函数．
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）=-F（x），故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，+∞） 上亦为增函数．
已知g（-2）=0，必有F（-2）=F（2）=0，构造如图的F（x）的图象，
可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-2）∪（0，2）．
故选D．