Question

某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500件，销售的收入函数为（单位：万元），其中t（t∈N）是产品售出的数量（单位：百件）
（1）该公司这种产品的年产量为x（x∈N）百件，生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量x（x∈N）的函数f（x），求f（x）；
（2）当年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）当年产量是多少时，工厂才不亏本？

Answer

（1）利润函数=销售收入函数-成本函数，讨论x的大小，由此能够利用分段函数表示出年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数．
（2）由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值，比较两段的最大值即可求出所求．
（3）令利润函数不小于，能够求出年产量是多少时，工厂才不亏本．
【解析】
（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，
每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，
公司这种产品的年产量为x（x∈N）百件，
销售的收入函数为，
∴当0≤x≤5，x∈Z时，
f（x）=5x--0.5-0.25x=-0.5+4.75x-，
当x＞5，x∈Z时，
f（x）=25--0.5-0.25x=12-0.25x，
∴f（x）=．
（2）当0≤x≤5时，y=-0.5+4.75x-，
∵抛物线开口向下，对称轴x=4.75，
∴当x=5时，y有最大值10.75；
当x＞5时，∵y=12-0.25x是减函数，
∴x=6时，y有最大值10.50．
综上，当年产量为500件时，工厂所得利润最大．
（3）当0≤x≤5时，由y=-0.5+4.75x-≥0，得0≤x≤5，x∈Z；
当x＞5时，由y=12-0.25x≥0，得5＜x≤48，x∈Z．
当年产量x满足1≤x≤48，x∈Z时，工厂不亏本．