Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=． 
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求几何体E-ACD的体积．

Answer

（1）连接OC，由等腰三角形三线合一，可得AO⊥BD，CO⊥BD，再勾股定理可得AO⊥OC，进而根据线面垂直的判定定理得到AO⊥平面BCD；
（2）根据等积法可得VE-ACD=VA-CDE，结合（1）中结论，可得AO即为棱锥的高，代入棱锥的体积公式，可得答案．
证明：（1）连接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．…（2分）
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得．而AC=2，
∴AO2+CO2=AC2，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．…（5分）
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC⊂平面BCD
∴AO⊥平面BCD…（7分）
【解析】
（2）∵VE-ACD=VA-CDE，
在△ACD中，，
而，…（12分）
∴．…（14分）