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过点P(4,2)作相互垂直的直线l1和l2,使得l1与x轴的正半轴相交于点A,l...

过点P(4,2)作相互垂直的直线l1和l2,使得l1与x轴的正半轴相交于点A,l2与y轴的正半轴相交于点B,若直线AB平分四边形OAPB的面积,求直线AB的方程.
设A(a,0)、B(0,b).得到直线AB,由题知PA⊥PB即直线MA与直线MB的斜率乘积为-1,得到a与b的关系式;又因为四边形OAPB的面积被直线AB平分得到M到直线AB与O到直线AB的距离相等得到a与b的关系式,两者联立求出a和b即可得到直线AB的方程. 【解析】 由题意,设A(a,0)、B(0,b).则直线AB方程为(a>0,b>0), ∵,PA⊥PB,∴×=-1,化简得b=10-2a. ∵b>0,∴0<a<5.直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0 ∴点P(4,2)到直线AB的距离为d1=. 又∵原点O到直线AB的距离为d2=, ∵四边形OAPB的面积被直线AB平分,∴d1=d2, ∴4b+2a-ab=±ab,又∵b=10-2a. 解得或, ∴所求直线AB的方程为x+2y-4=0或2x+y-5=0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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