Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其左视图沿AB方向投影，左视图如图．
（1）证明：AC₁⊥B₁C；
（2）当AC₁长为时，求多面体B₁-ABC₁D₁的体积．

Answer

（1）根据长方体的几何特征及正方形对角线互相垂直，结合线面垂直的判定定理可得B1C⊥平面ABC1，进而根据线面垂直的定义得到AC1⊥B1C；
（2）根据三视图中棱长，及AC1=，可求出棱AB的长度，进而求出多面体B1-ABC1D1的底面面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．
证明：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，
∴AB⊥B1C
又∵由左视图知平面BB1C1C为正方形
∴B1C⊥BC1，
又∵BC1，AB⊂平面ABC1，BC1∩AB=B
∴B1C⊥平面ABC1，
而AC1⊂平面ABC1，
∴AC1⊥B1C．…..（6分）
（2）由AC1==得
AB=2，
∴矩形ABC1D1的面积S=2，
由（1）中B1C⊥平面ABC1，
则B1C即为平面ABC1D1上的高，
又∵B1C=，
∴多面体B1-ABC1D1的体积V=S•B1C=．…..（12分）