Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．

Answer

（1）因为，，，所以，由此根据实数m的取值，能判断该方程所表示曲线的形状．
（2）当m=时，轨迹E的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，解方程组，得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，由此证明存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．
【解析】
（1）因为，，，
所以，即mx2+y2=1．
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示圆；
当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；
当m＜0时，方程表示的是双曲线．
（2）当m=时，轨迹E的方程为，
设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，
解方程组，
得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，
则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0，
即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，
且
y1y2=（kx1+t）（kx2+t）
=
=+t2=，
要使，需使x1x2+y1y2=0，
即=，
所以5t2-4k2-4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，
即4k2+4＜20k2+5恒成立．
所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，=，
所求的圆为．
当切线的斜率不存在时，切线为，
与交于点或也满足OA⊥OB．
综上，存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．