Question

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（1）法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P，则2a=|PA|-|PB|，2c=|AB|．由此能求出双曲线C的方程．
法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），P．设双曲线C的方程为，则，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程，得（1-k2）x2-4kx-6=0．由直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，能求出直线l的斜率的取值范围．
【解析】
（1）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则点A（-2，0），B（2，0），P．
设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则，2c=|AB|=4．
所以，c=2，从而b2=c2-a2=2．
故双曲线C的方程是…（6分）
方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则点A（-2，0），B（2，0），P．
设双曲线C的方程为，
则，
解得a2=b2=2，故双曲线C的方程是．   …（6分）
（2）据题意可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程得，x2-（kx+2）2=2，即（1-k2）x2-4kx-6=0．
因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，
则，即，
设点E（x1，y1），F（x2，y2），
则．
所以
=．
又原点O到直线l的距离．（11分）
所以．
因为，则，
解得．
综上分析，直线l的斜率的取值范围是…（14分）