Question

如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅱ）设M是线段BD上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）说明DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
求出A，F，E，B，C的坐标，设平面BEF的法向量为=（x，y，z），利用，求出，说明为平面BDE的法向量，通过，求出二面角F-BE-D的余弦值．
（Ⅱ）设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF，通过，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到的值．
【解析】
（Ⅰ） 因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=2可知DE=，AF=．
则A（3，0，0），F（3，0.），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，，（8分）
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即，
令z=，则=（4，2，）．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，-3，0），
所以==．
因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为．（8分）
（Ⅱ）【解析】
点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则，
因为AM∥平面BEF，所以，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），符合题意．（12分）