Question

设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=3交于P点．
（1）当直线m过P点，且与直线l：x-2y=0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程．

Answer

（1）根据斜率存在的直线相互垂直的充要条件k1k2=-1即可求出；
（2）先分斜率存在和不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可求出．
【解析】
由，解得点P（1，2）．
（1）由直线l：x-2y=0可知：．
∵m⊥l，∴直线m的斜率，
又直线m过点P（1，2），
故直线m的方程为：y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0．
（2）因为直线m过点P（1，2），
①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0．
由坐标原点O到直线m的距离，解得，
因此直线m的方程为：，即3x-4y+5=0．
②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=1，验证可知符合题意．
综上所述，所求直线m的方程为x=1或3x-4y+5=0．