Question

设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）由椭圆C：过点（0，4），离心率为，知，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），利用点差法能够求出过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，
∴，解得a=5，b=4，c=3，
∴椭圆C的方程是．
（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），
设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，
得
①-②，得16（x1+x2）（x1-x2）+25（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴32x（x1-x2）+50y（y1-y2）=0，
∴直线AB的斜率k==-，
∵直线AB过点（3，0），M（x，y），
∴直线AB的斜率k=，
∴-=，整理，得16x2+25y2-48x=0．
当k不存在时，16x2+25y2-48x=0也成立．
故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2-48x=0．