Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°．
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求B₁C₁到平面A₁CB的距离；
（3）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer

（1）由已知中四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，我们易由线面垂直的判定定理得到CB⊥平面A1ABB1，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CA1B⊥平面A1ABB1
（2）根据（1）的结论，及AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A1AB=60°，我们易求出几何体中各线段的长，由线面平行的判定定理，可得到B1C1∥平面A1CB，则B1C1到平面A1CB的距离可转化为B1C1上任一点（如B1点）平面A1CB的距离，利用等体积法，可得到结论．
（3）要求直线A1C与平面BCC1B1所成角，我们可根据（2）的结论，计算出A1点到平面BCC1B1距离，结合A1C=，利用线面夹角的定义，构造三角形即可求出答案．
【解析】
（1）证明：∵四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB1，AB∩BB1=B
∴CB⊥平面A1ABB1
∵CB∈平面CA1B
∴平面CA1B⊥平面A1ABB1
（2）依题意的：A1B=2，AB1=2，B1C=，A1C=
∵B1C1∥BC，B1C1⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB
∴B1C1∥平面A1CB
则B1C1到平面A1CB的距离等于点C1到平面A1CB的距离为 H′
∵△A1CB的面积S1=1
∵AB1⊥A1B，CB⊥AB1
∴AB1⊥平面A1CB
∴三棱锥C1-A1CB的体积等于三棱锥B1-A1CB的体积
∴H′=AB1=
即B1C1到平面A1CB的距离等于
（3）设A1到平面BCC1B1的距离为H
∴平行四边形BCC1B1的面积S=2，
则△A1B1C1的面积为1，BB1=2．
由棱锥A1-BCC1B1的体积等于棱锥B-A1B1C1的体积，
得：H=
∴sinθ=
∴直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值 tanθ=