Question

已知椭圆及点，过点M作直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）若M是弦PQ的中点，求直线PQ的方程；
（2）求证：以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A，并求出定点A的坐标．

Answer

（1）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合M是弦PQ的中点，即可求得结论；
（2）A在以PQ为直径的园上，则AP⊥AQ，于是向量的数量积▪=0，由此化简可得结论．
（1）【解析】
设过M的直线的方程为y=k（x+）-=kx+
代入椭圆方程得：x2+3（kx+）2=12；展开化简得：
（1+3k2）x2+3k（3k-1）x+=0
即有（1+3k2）x2+3k（3k-1）x+=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
∵是弦PQ的中点，
∴=-3
∴k=-1
∴直线PQ的方程为y=-x-2，即x+y+2=0；
（2）证明：设A（m，n），A在椭圆上，其坐标满足椭圆方程，即…（1）
如果A在以PQ为直径的园上，则AP⊥AQ，于是向量的数量积▪=0；
即▪=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m2+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n2
=++m2+-+n2=0
去分母得9（3k-5）（k+1）+12mk（3k-1）+4m2（1+3k2）+（-39k2-6k+1）-4n（3k-1）+4n2（1+3k2）=0
化简整理得（12m2+36m+12n2-12）k2-（12m+12n+24）k+4m2+4n2+4n-44=0
12（m2+3m+n2-1）k2-12（m+n+2）k+4（m2+n2+n-11）=0…（2）
令m2+3m+n2-1=0…（3）
m+n+2=0…（4）
m2+n2+n-11=0…（5）
（3）-（5）得3m-n+10=0…（6）
（4）+（6）得4m+12=0，故得m=-3；代入（5）式得n=1；
由此可见，当m=-3，n=1时，（2）是恒等式；而（-3，1）满足方程（1），即（-3，1）在椭圆上．
这就证明了无论直线的k为何值，以弦PQ为直径的圆一定过椭圆上的定点A（-3，1）．