Question

给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数表示同一个函数；
②已知函数f（x+1）=x²，则f（e）=e²-1
③已知函数f（x）=4x²+kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（-∞，40]∪[160，+∞）
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

Answer

①由函数y=|x|和函数的定义域不同，知函数y=|x|与函数不是同一个函数；
②由函数f（x+1）=x2，设x+1=e，则x=e-1，知f（e）=（e-1）2；
③由函数f（x）=4x2+kx+8的对称轴为x=-，在区间[5，20]上具有单调性，能推导出k≥40，或k≤160；
④分别判断f（x），g（x）的奇偶性，即可判断④的正误．
【解析】
①∵函数y=|x|的定义域是R，
函数的定义域是{x|x≥0}，
∴函数y=|x|与函数不是同一个函数，故①错误；
②∵函数f（x+1）=x2，
设x+1=e，则x=e-1，
∴f（e）=（e-1）2，故②错误；
③∵函数f（x）=4x2+kx+8的对称轴为x=-，
在区间[5，20]上具有单调性，
∴-≤5，或-，
解得k≥40，或k≤160，故③错误；
④令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函数f（x）是奇函数，
∵x≠0时，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）==g（y），
∴函数g（x）是偶函数，故④错误．
故选D．