Question

在正项等比数列{a_n}中，a₁=4，a₃=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）记b_n=log₄a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）记y=-λ²+4λ-m，对于（2）中的S_n，不等式y≤S_n对一切正整数n及任意实数λ恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由a1=4，a3=64可求公比，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；
（2）由于bn=log4an=n，所以数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列，故可求和；
（3）先求得Sn取得最小值Smin=1，要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即-λ2+4λ-m≤1，分离参数得m≥-λ2+4λ-1恒成立，故可求参数的范围．
【解析】
（1）∵，解得q=4或q=-4（舍去）∴q=4…（2分）∴an=a1qn-1=4×4n-1=4n…（3分）  （q=-4没有舍去的得2分）
（2）∵bn=log4an=n，…（5分）∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列∴…（7分）
（3）由（2）知，，
当n=1时，Sn取得最小值Smin=1…（8分）
要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即-λ2+4λ-m≤1
即对任意实数λ，m≥-λ2+4λ-1恒成立，∵-λ2+4λ-1=-（λ-2）2+3≤3，
所以m≥3，
故m得取值范围是[3，+∞）．…（10分）