Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|²+|BP|²取得最小值时P的坐标；
（2）若Q是x轴上的点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，若，求直线QC的方程．

Answer

（1）设出P的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式表示出|AP|2+|BP|2，要使|AP|2+|BP|2取得最小值只要使|OP|最小即可，由P为圆上的点，得到|OP|的最小值为|OC|-r，求出最小值，由原点O坐标与C坐标，确定出直线OC的方程，与圆方程联立组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出P的坐标；
（2）设Q（x，0），由圆的半径及弦MN的长，求出∠MCN的度数，进而确定出∠MCQ的度数，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出|QC|的长，利用两点间的距离公式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出Q的坐标，即可确定出直线QC的方程．
【解析】
（1）设P（x，y），由点A（1，0），B（-1，0），
得到|AP|2+|BP|2=（x-1）2+y2+（x+1）2+y2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2，
∵P为圆上的点，
∴|OP|min=|OC|-r=-2=5-2=3，
∴（|AP|2+|BP|2）min=2×32+2=20，
此时直线OC：y=x，
联立得：，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为；
（2）设Q（x，0），
∵圆C的半径r=2，|MN|=2，
∴∠MCN=，
又△QCN≌△QCM，∠MCQ=，∠CMQ=，|CM|=2，
∴|QC|=4，即（x-3）2+（0-4）2=16，
解得：x=3，
则所求直线QC的方程为x=3．