Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁（底面是平行四边形的四棱柱）
①求证：平面AB₁D₁∥平面BDC₁；
②若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD的中点，AC₁∩BD₁=0，求证：OE⊥平面ABC₁D₁．

Answer

（1）由，知四边形BDD1B1是平行四边形，所以B1D1∥平面BDC1，同理，AD1∥平面BDC1，由此能够证明平面AB1D1∥平面BDC1．
（2）连接B1C，交BC1于M点，连接OM，由BC=BB1，四边形BCC1B1是平行四边形，知BC1⊥B1C，M是BC1的中点，由AB⊥平面BCC1B1，知平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，由此能够证明OE⊥平面ABC1D1．
证明：（1）∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，
∴四边形BDD1B1是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又∵B1D1⊄平面BDC1，
∴B1D1∥平面BDC1，
同理，AD1∥平面BDC1，
又∵BD1∩AD1=D1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1．
（2）连接B1C，交BC1于M点，连接OM，
∵BC=BB1，四边形BCC1B1是平行四边形，
∴BC1⊥B1C，M是BC1的中点，
∵AB⊥平面BCC1B1，
∴平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，
∴B1C⊥平面ABC1D1，即MC⊥平面ABC1D1，
又四边形ABC1D1是平行四边形
∴O是BD1的中点∴
又∴
∴四边形OMCE是平行四边形
∴OE∥MC，
∴OE⊥平面ABC1D1．