Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，点O是线段BC₁的中点，点M是OD的中点，点E是线段AB上一点，AE＞BE，且A₁E⊥OE．
①求AE的长；
②求二面角A₁-DE-C的正切值；
③求三棱锥M-A₁OE的体积．

Answer

①以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=m（1，5＜m＜3），确定、的坐标，利用A1E⊥OE，即可求得结论；
②过点A作AH⊥DE，垂足为H，连接A1H，则∠A1HA是二面角A1-DE-A的平面角，由此可求二面角A1-DE-C的正切值；
③点M是OD的中点，O∈B1C，且B1C∥A1D，利用等体积，可求三棱锥M-A1OE的体积．
【解析】
①以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AE=m（1，5＜m＜3），则A1（2，0，2），E（2，m，0），O（1，3，1）
∴=（0，m，-2），=（-1，3-m，1）
∵A1E⊥OE
∴m（3-m）-2=0
∴m2-3m+2=0
∴m=2，即AE=2；
②过点A作AH⊥DE，垂足为H，连接A1H，则
∵A1A⊥平面ABCD
∴A1H⊥DE
∴∠A1HA是二面角A1-DE-A的平面角
∵AD=AE=2，∴AH=
∴tan∠A1HA=
∵二面角A1-DE-C是钝角
∴二面角A1-DE-C的正切值为-；
③∵点M是OD的中点，O∈B1C，且B1C∥A1D，
∴======1