Question

（理）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图（2）．
①求直线A₁E与平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD与平面A₁BE所成锐角的余弦值；
③在线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由．

Answer

①建立空间直角坐标系，A1E与平面CBED所成角为θ，确定平面CBED的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线A1E与平面CBED所成角的正弦值；
②求得平面A1CD的法向量为=（1，0，0），平面A1BE的法向量为=（2，1，），利用向量的夹角公式，即可求平面A1CD与平面A1BE所成锐角的余弦值；
③设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为=（-3a，6，a）假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则•=0，由此可得结论．
【解析】
由题知DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1CD，∴DE⊥A1C
又BC=3，AC=6，DE∥BC，DE=2，∴A1D=4，CD=2
又A1C⊥CD，∴且A1C⊥平面CBED
以、、为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），E（2，2，0），
①设A1E与平面CBED所成角为θ
∵平面CBED的法向量，
∴
∴A1E与平面CBED所成角的正弦值为…（7分）
②平面A1CD的法向量为=（1，0，0），
设平面A1BE的法向量为=（x，y，z）
∵=（3，0，-2），=（-1，2，0）
∴，∴可取=（2，1，）
∴cos＜＞==
∴平面A1CD与平面A1BE所成锐角的余弦值为
③设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴=（0，a，-2），=（2，a，0）
设平面A1DP法向量为=（x1，y1，z1）
则，∴
∴=（-3a，6，a）
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则•=0，
∴3a+12+3a=0，∴a=-2
∵0＜a＜3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．