Question

正四棱柱ABCD-ABC₁D₁（底面是正方形，侧棱与底面垂直）底面边长为1，高为2，M、N、P分别为线段AB、CD、C₁D₁的中点．
（1）求证：MC₁∥平面ANPA₁；
（2）求异面直线CD与MC₁所成角的大小的正切值．

Answer

（1）连接PA，先证明四边形AMC1P是平行四边形，由此能够证明MC1∥平面ANPA1．
（2）由CD∥AB，知∠C1MB或其补角为导面直线CD与MC1所成的角．由此能求出异面直线CD与MC1所成角的正切值．
【解析】
（1）连接PA，
∵正四棱柱ABCD-ABC1D1中，M、P分别为线段AB、C1D1的中点，
∴AMPC1，
∴四边形AMC1P是平行四边形，
∴MC1∥AP，
∵AP⊂平面ANPA1，MC1⊄平面ANPA1，
∴MC1∥平面ANPA1．
（2）∵CD∥AB，所以∠C1MB或其补角为导面直线CD与MC1所成的角．
连接BC1，∵AB⊥平面BCC1B，∴AB⊥BC1，
在Rt△MBC1中，，
∴，
故异面直线CD与MC1所成角的大小的正切值为2．