Question

已知a₁=1，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）证明：数列{lg（a_n+2）}是等比数列；
（2）设数列{a_n+2}的前n项积为T_n，求T_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）已知b_n是与的等差中项，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（1）点（an，an+1）代入函数关系式整理可得an+1+2=（an+2）2，两边取对数求得lg（an+1+2）=2lg（an+2）
判断出{lg（an+2）}是等比数列．
（2）根据数列{lg（an+2）}的通项公式求得an，进而利用等比数列的求和公式求得lgTn，进而求得Tn．
（3）根据题意知整理求得bn=＞进而可判断出Sn≥S1同时利用＜进而证明原式．
（1）证明：由已知an+1=an2+4an+2，
∴an+1+2=（an+2）2
∵a1=1⇒an+2＞1，两边取对数，得lg（an+1+2）=2lg（an+2）
∴{lg（an+2）}是等比数列，公比为2，首项为lg（a1+2）=lg3
（2）【解析】
由（1）得，
∴，
∵lgTn=lg[（a1+2）（a2+2）（an+2）]=lg（a1+2）+lg（a2+2）+…+lg（an+2）=
∴
（3）【解析】

∵
==
显然bn＞0，
∴，
又，
∴．