(1)将a=3代入后对函数f(x)求导,导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减.
(2)根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'(x)=-x2+2x+a<2a2对任意x∈R恒成立的a的取值范围,进而根据二次函数的性质可解题.
(Ⅰ)【解析】
当a=3时,,所以f/(x)=-x2+2x+3,
由f'(x)>0,解得-1<x<3,由f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调增区间为(-1,3),减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).
(Ⅱ)【解析】
因为f'(x)=-x2+2x+a,
由题意得:f'(x)=-x2+2x+a<2a2对任意x∈R恒成立,
即-x2+2x<2a2-a对任意x∈R恒成立,
设g(x)=-x2+2x,所以g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
所以当x=1时,g(x)有最大值为1,
因为对任意x∈R,-x2+2x<2a2-a恒成立,
所以2a2-a>1,解得a>1或,
所以,实数a的取值范围为{a|a>1或.