(1)由题设知a2=6,a3=12,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,所以an-a1=2[n+(n-1)+…+3+2],由此可知数列{an}的通项公式为an=n(n+1).
(2)由题设条件可推出=,令,则,当x≥1时,f'(x)>0恒成立,f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,故f(x)min=f(1)=3,,
要使对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式恒成立,则须使,即t2-2mt>0,对∀m∈[-1,1]恒成立,由此可知实数t的取值范围.
【解析】
(1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N)∴a2=6,a3=12(2分)
当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,
∴an-a1=2[n+(n-1)+…+3+2],
∴(5分)
当n=1时,a1=1×(1+1)=2也满足上式,
∴数列{an}的通项公式为an=n(n+1)(6分)
(2)==(8分)
令,则,当x≥1时,f'(x)>0恒成立
∴f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3
即当n=1时,(11分)
要使对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式恒成立,
则须使,
即t2-2mt>0,
对∀m∈[-1,1]恒成立,
∴,
∴实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞)(14分)