四个选项中都给出了具体的函数解析式,其中选项A是分段函数,可由f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)知函数为奇函数,在分析x>0时函数的增减性,根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性;
选项B举一反例即可;
C、D中的两个函数,定义域均不关于原点对称,都不是奇函数.
【解析】
由f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),知函数f(x)=x|x|为奇函数,又f(x)=x|x|=当x>0时,f(x)=x2在(0,∞)上为增函数,根据奇函数图象关于原点中心对称,
所以当x<0时,f(x)=-x2在(-∞,0)上也为增函数,所以函数f(x)=x|x|在定义域内既是奇函数,又是增函数,故A正确.
∵2>1,而-23<-13,所以函数f(x)=x3在定义域内不是增函数,故B不正确.
∵不关于原点对称,∴f(x)=sinx在给定的定义域内不是奇函数,故C不正确.
∵f(x)=的定义域为{x|x>0},不关于原点对称,所以函数f(x)=在定义域内不是奇函数,故D不正确.
故选A.