根据题意并结合空间线面垂直的性质,可得三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点.在直角Rt△POB中,利用勾股定理算出BO的长,即得外接球半径R的大小,再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积.
【解析】
直三棱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,(如图),
∵△ABC中,,
∴下底面△ABC的外心P为BC的中点,
同理,可得上底面△A1B1C1的外心Q为B1C1的中点,
连接PQ,则PQ与侧棱平行,所以PQ⊥平面ABC
再取PQ中点O,可得:点O到A、B、C、A1、B1、C1的距离相等,
∴O点是三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心
∵Rt△POB中,BP==,PQ=AA1=1,
∴BO==2,即外接球半径R=2,
因此,三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球的体积为:
V=πR3═π×23=.
故答案为: