Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．

Answer

（Ⅰ）先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论；
（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，再结合∠ADE=∠BDA，得到△EAD∽△ABD，最后结合第一问的结论即可得到 AC=AE成立．
证明：（Ⅰ）由AC与⊙O′相切于A，
得∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，
所以△ACB∽△DAB，
从而，
即 AC•BD=AD•AB．
（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，
得∠AED=∠BDA，
又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，
从而，即AE•BD=AD•AB．
结合（Ⅰ）的结论，AC=AE．