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满分5
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高中数学试题
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已知点(1,)是函数f(x)=ax(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{...
已知点(1,
)是函数f(x)=a
x
(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{a
n
}的前n项和为f(n)-c,数列{b
n
}(b
n
>0)的首项为c,且前n项和S
n
满足S
n
-S
n-1
=
+
(n≥2).
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)若数列{
}前n项和为T
n
,问T
n
>
的最小正整数n是多少?
(1)先根据点(1,)在f(x)=ax上求出a的值,从而确定函数f(x)的解析式,再由等比数列{an}的前n项和为f(n)-c求出数列{an}的公比和首项,得到数列{an}的通项公式;由数列{bn}的前n项和Sn满足Sn-Sn-1=可得到数列{ }构成一个首项为1公差为1的等差数列,进而得到数列{ }的通项公式,再由bn=Sn-Sn-1可确定{bn}的通项公式. (2)先表示出Tn再利用裂项法求得的表达式Tn,根据Tn>求得n. 【解析】 (1)由已知f(1)=a=,∴f(x)=,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c=c, ∴a1=f(1)=-c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- 数列{an}是等比数列,应有=q,解得c=1,q=. ∴首项a1=f(1)=-c= ∴等比数列{an}的通项公式为=. (2)∵Sn-Sn-1==(n≥2) 又bn>0,>0,∴=1; ∴数列{ }构成一个首项为1,公差为1的等差数列, ∴=1+(n-1)×1=n ∴Sn=n2 当n=1时,b1=S1=1, 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1 又n=1时也适合上式, ∴{bn}的通项公式bn=2n-1. (2)== ∴ == 由,得,, 故满足的最小正整数为112.
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考点分析:
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+a
2
(a>0)的单调递减区间是(1,2),且满足f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)对任意m∈(0,2],关于x的不等式f(x)<
m
3
-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞) 上有解,求实数t的取值范围.
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已知数列{a
n
}、{b
n
}满足a
1
=1,a
2
=3,
,b
n
=a
n+1
-a
n
.
(1)求数列{b
n
},{a
n
}的通项公式;
(2)数列{c
n
}满足c
n
=b
n
•log
2
(a
n
+1)(n∈N
*
),求S
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
.
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已知数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n+1
=2a
n
-1(n≥1)
(1)设b
n
=a
n
-1(n=1,2,3…),求证:数列{b
n
}是等比数列;
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
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设有两个命题,p:关于x的不等式a
x
>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0};q:函数y=lg(x
2
-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,为p∧q假命题,求实数a的范围.
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=1,且对任意正整数n,点(a
n+1
,S
n
)在直线2x+y-2=0上.
(1)a
2
,a
3
.
(2)数列{a
n
}的通项公式.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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